已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
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解题思路：（1）根据导数公式求出导函数，然后利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而用周期公式做出周期；
（2）由于f（x）=2f′（x），得到
tanx＝
1
3
，将原式
1+si
n
2
x
co
s
2
x+sinx•cosx
化为切函数．
（1）∵f'（x）=cosx-sinx，
∴f'（x）=cosx-sinx=-
2sin（x+[π/4]），
F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+
2sin（2x+[π/4]），
所以F（x）的最小正周期为T=π
（2）由于f（x）=2f′（x），则sinx+cosx=2（cosx-sinx）
故3sinx=cosx
即tanx＝
1
3
原式=
2sin2x+cos2x
cos2x+sinx•cosx=
1+2tan2x
1+tanx＝
11
12．
点评：
本题考点： 导数的加法与减法法则；三角函数的恒等变换及化简求值．
考点点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的求导问题，属于基础题．
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