在三角形ABC中,向量m=（根号2cos(A+B)／2,sin(A-B)／2),若|向量m|=根号6／2,档tanC取最
1个回答
【解】
|m|^2=2[cos((A+B)/2)]^2+[sin((A-B)/2)]^2=(√6/2)^2,
即2[cos(A+B)/2]^2+[sin(A-B)/2]^2=3/2
从而得
cos(A+B)+1+[1-cos(A-B)]/2=3/2
2cos(A+B)-cos(A-B)=0
化简得：cosA*cosB-3sinAsinB=0,显然cosA*cosB≠0
cosA*cosB=3sinAsinB
sinAsinB/cosA*cosB=1/3
tanAtanB=1/3
tanC=-tan(A+B)
=-(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)
=-3(tanA+tanB)/2
因为A.B是锐角,
所以tanA,tanB都大于零,
利用基本不等式得tanA+tanB≥2√（tanA*tanB)=2√3 /3(当tanA=tanB,即A=B时取等号）
所以原式tanC=-3(tanA+tanB)/2 ≤-√3.
所以当A=B时tanC取最大值为-√3.
此时的∠C=120°.
∠A＝∠B＝30°.
所以为顶角为120°的等腰三角形
相关问题
