设f（x）=[x+ax2+bx+1是R上的奇函数（ - 已解决

设f（x）=[x+ax2+bx+1是R上的奇函数（常数a，b∈R）．

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解题思路：（1）根据f（x）=[x+a

+bx+1

是R上的奇函数（常数a，b∈R）的定义可以判断a，b的值，

（2）变形为当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）=

1/x

]，利用均值不等式求解可得．

（1）∵f（x）=

x+a

x2+bx+1是R上的奇函数（常数a，b∈R）．

∴f（0）=0，即

0+a/1]=0，a=0

∴f（x）=[x

x2+bx+1，f（-x）=−

x2−bx+1，

∴bx=-bx，b=0，

故a=0，b=0，

（2）f（x）=

x2+1，

当x=0时，f（0）=0，

当x≠0时，f（x）=

1/x]，

∵y=x+[1/x]的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），

∴f（x）=[x

x2+1的值域为[−

1/2]，[1/2]]

故f（x）最大值为[1/2]，f（x）最小值为−

2．

点评：

本题考点：函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题综合考察了函数的性质，在求解函数值域中的应用，属于中档题，容易忽略x=0．

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