已知函数f（x）=[sinx/2+cosx]．
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解题思路：（1）利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性即可得出；
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）min≤a，再利用（1）可得f（x）的单调性，即可得出．
（1）f′（x）=
cosx(2+cosx)−sinx(−sinx)
(2+cosx)2=[2cosx+1
(2+cosx)2，
当2kπ−
2π/3＜x＜2kπ+
2π
3]（k∈Z）时，cosx＞−
1
2，可得f′（x）＞0；
当2kπ+
2π
3＜x＜2kπ+
4π
3（k∈Z）时，cosx＜−
1
2，即f′（x）＜0．
因此函数f（x）的单调递增区间为(2kπ−
2π
3，2kπ+
2π
3)(k∈Z)，单调递减区间为(2kπ+
2π
3，2kπ+
4π
3)(k∈Z)．
（2）f（x）≤a在[0，2π]有解，则f（x）min≤a，
由（1）可知x∈[0，
2π
3]，[
4π
3，2π]递增，x∈[
2π
3，
4π
3]递减，
∴f（x）min=min{f（0），f(
4π
3)}，
f（0）=0，f(
4π
3)＝−
3
3，
∴a≥−
3
3．
点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、余弦函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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