函数f（x）=x 3 +ax 2 +x+2（x∈R）
1个回答
（1）当a=-1时，f（x）=x 3-x 2+x+2，f′（x）=3x 2-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函数，所以f（x）不存在极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x 2+2ax+1≥0恒成立，则△=4a 2-4×3×1≤0，解得 -
3 ≤a≤
3 ，
所以实数a的取值范围是[ -
3 ，
3 ]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x 2+2ax+1≥0恒成立，则△=4a 2-4×3×1≤0，解得 -
3 ≤a≤
3 ，
所以实数a的取值范围是[ -
3 ，
3 ]．
（3）f（x）=x 3+3x 2+x+2的图象具备中心对称．
证明：f′（x）=3x 2+6x+1的对称轴x=-1，现证f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．
设M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，且M（x，y）关于C（-1，3）对称的点为N（x 0，y 0），
则
x+ x 0
2 =-1
y+ y 0
2 =3 ，得
x 0 =-2-x
y 0 =6-y ，
因为 f( x 0 )= x 0 3 +3 x 0 2 + x 0 +2 =（-2-x） 3+3（-2-x） 2+（-2-x）+2=-（x 3+3x 2+x+2）+6=-y+6=y 0，
故M关于点C（-1，3）对称的点N（x 0，y 0）也在函数y=f（x）的图象上，
所以f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．
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