设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．

（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；

（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

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解题思路：（Ⅰ）导函数在x=2处为零求a，是必要不充分条件故要注意检验

（Ⅱ）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范围也是必要不充分条件注意检验

（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．

因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．

经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．

（Ⅱ）由题设，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2（x+3）-3x（x+2）．

当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），

即0≥20a-24．

故得a≤

6

5．

反之，当a≤

6

5时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤

6

5x2(x+3)−3x(x+2)=

3x

5(2x2+x−10)=

3x

5(2x+5)(x−2)≤0，

而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．

综上，a的取值范围为(−∞，

6

5]．

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验．

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