已知函数f（x）=2ax3-9x2+6（a-2）x+2，a∈R．
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解题思路：（1）由已知得f'（x）=6ax2-18x+6a-12，f'（1）=6a-18+6a-12=0，由此利用导数性质能求出实数a的值．
（2）当a=2时，f'（x）=12x2-18x=6（2x-3），由此能求出函数f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．
（1）∵函数f（x）=2ax3-9x2+6（a-2）x+2，
∴f'（x）=6ax2-18x+6a-12．…（2分）
∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f'（1）=0，
∴f'（1）=6a-18+6a-12=0，∴实数a=
5
2．…（4分）
经检验，当a=
5
2时，f（x）取得极小值，故a=
5
2．…（6分）
（2）当a=2时，f（x）=4x3-9x2+2．
∵f'（x）=12x2-18x=6（2x-3），∴f′(
3
2)=0．…（8分）
∵在区间[0，
3
2)上，f'（x）＜0；在区间(
3
2，3]上，f'（x）＞0，
∴在区间[0，
3
2)上，函数f（x）单调递减，
在区间(
3
2，3]上，函数f（x）单调递增．（10分）
∴f(x)最小值=f(x)极小值=f(
3
2)=4(
3
2)3-9(
3
2)2+2=-
19
4．…（11分）
∵f（0）=2，f（3）=4×33-9×32+2=29，
∴f（x）最大值=29．…（12分）
点评：
本题考点： A:利用导数求闭区间上函数的最值 B:利用导数研究函数的极值
考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
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