解题思路：（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．
当a=1时，f(x)＝
ex
x−1，则f′(x)＝
ex(x−2)
(x−1)2．
又f（0）=
e0
0−1＝−1，f′(0)＝
e0(0−2)
(0−1)2＝−2，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数f(x)＝
eax
x−1，得：f′(x)＝
eax[ax−(a+1)]
(x−1)2．
当a=0时，f′(x)＝
−1
(x−1)2＜0，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x＝
a+1
a，
当a＞0时，x＝
a+1
a＞1，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
x （-∞，1） 1 (1，
a+1
a) [a+1/a] (
a+1
a，+∞)
f′（x） - 无定义 - 0 +
f（x） 减函数 减函数 极小值 增函数所以f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，[a+1/a]），
单调递增区间为(
a+1
a，+∞)，
当a＜0时，x＝
a+1
a＜1，
所以所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
x (−∞，
a+1
a) [a+1/a] (
a+1
a，1) 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - 无定义 -
f（x） 增函数 极大值 减函数 减函数所以f（x）的单调递增区间为
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．
