已知函数f（x）=2xlnx+x2-ax+3，其中a∈R．
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解题思路：（Ⅰ）先求函数的导函数f'（x），然后求在x=1时的导数值，再与直线2x-y+1=0平行，斜率相等求得a的值，（Ⅱ）先将恒成立问题转化为a≥g（x），然后利用导数求g（x）在
x∈[
1
e
，e]
上的最大值．
（Ⅰ）f'（x）=2lnx+2+2x-a，
f'（1）=4-a=2⇒a=2．
（Ⅱ）f（x）≤0在x∈[
1
e，e]恒成立⇔a≥2lnx+x+
3
x在x∈[
1
e，e]恒成立，
令g(x)＝2lnx+x+
3
x，则求得g（x）在x∈[
1
e，e]上的最大值即可．
由g′(x)＝
(x−1)(x+3)
x2知，g（x）在[
1
e，1]上递减，在[1，e]上递增，
故maxg(x)＝max{g(
1
e)，g(e)}＝−2+
1
e+3e．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考察导数的基本应用，一是导数的几何意义即切线斜率，二是利用导数判定函数的单调性及求取最值，熟练掌握导数的应用是解决本类题目的关键．
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