解题思路：（1）由题设易知，b1=
a
1
+
a
n
2
，b2=a1+an，容易得
b
k
＝
c
1
+
c
n−k+1
2
，bk+1=c1+cn-k+1，于是
b
k+1
b
k
＝2
，可证明
（2）由（1）求，
b
k
＝
b
1
•
2
k−1
=
a
1
+
a
2
2
•
2
k−1
，则ak=2k-1时，akbk=（2k-1）•2k-1，利用错位相减可求数列的和
（1）证明：由题设易知，b1＝
n(a1+an)
2n=
a1+an
2，
b2＝
(n−1)(a1+a2+…+ an)
2(n−1)=
a1+a2+…+an
2＝a1+an．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c1，c2…cn-k+1，显然c1，c2…cn-k+1，成等差数列，则它的第k+1行的数是c1+c2，c2+c3…cn-k+cn-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk＝
c1+cn−k+1
2，bk+1=c1+cn-k+1，于是
bk+1
bk＝2（1≤k≤n-1，k∈N*）．
故数列b1，b2…bn是公比为2的等比数列．（7分）
（2）由（1）知，bk＝b1•2k−1=
a1+a2
2•2k−1，
故当ak=2k-1时，bk＝n•2k−1，akbk＝n(2k−1)•2k−1．
于是
n
k＝1akbkn
n
k＝1(2k−1)•2k−1． （9分）
设S＝
n
k＝1(2k−1)•2k−1，
则S=1•20+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1①
2S=1•2+3×22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
①-②得，-S=1×20+2（2+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n，
化简得，S=（2n-1）•2n-2n+1+3，
故
n
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的证明中的应用，错位相减求解数列的和，解题的关键需要由已只条件中的信息提炼出相关的递推关系
