解题思路：（1）要证数列b1，b2，…，bn成等比数列，只需证
b
k+1
b
k
为常数即可，所以用数列{an}中的项表示{bn}中项，再求
b
k+1
b
k
．
（2）先由（1）和ak=2k-1（k=1，2，…，n），求数列{bn}的通项公式，再代入
n
k＝1
a
k
b
k
，再用裂项相消求和即可．
（1）由题设易知，b1＝
n(a1+an)
2n＝
a1+an
2，b2＝
(a1+a2+…+an−1+an)(n−1)
2(n−1)＝
a1+a2+an−1+an
2＝a1+an．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c1，c2，…，cn-k+1，显然c1，c2，…，cn-k+1成等差数列，则它的第k+1行的数是c1+c2，c2+c3，…，cn-k+cn-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是bk＝
c1+cn−k+1
2，bk+1=c1+cn-k+1，于是
bk+1
bk＝2(1≤k≤n−1，k∈N*)．
故数列b1，b2，…，bn是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，bk＝b1 • 2k−1＝
a1+an
2 • 2k−1，
故当ak=2k-1时，bk=n•2k-1，ak•bk=n（2k-1）•2k-1（1≤k≤n，k∈N*）．
于是
n
k＝1akbk=n
n
k＝1(2k−1) • 2k−1．
设
n
k＝1(2k−1) • 2k−1＝S，
则S=1×20+3×21+5×22+…+（2n-1）•2n-1①2S=1×21+3×22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
①-②得，-S=1×20+2（21+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n，
化简得，S=（2n-1）•2n-2n+1+3，
故
n
k＝1akbk=n（2n-1）•2n-n•2n+1+3n．
点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查了等比数列的证明，以及裂项相消求和，做题时需认真观察，找出正确方法．
