（2014•荆州模拟）已知函数 f(x)＝2lnx+12ax2−(2a+1)x (a∈R)．
1个回答
（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）
当a=-[1/2]时，f′（x）=-
(x+2)(x−2)
2x，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，
x [1，2） 2 （2，e]
f′（x） + 0 -
f（x） 增 2ln2-1 减…．（4分）
∵f（1）=-[1/4]，f（e）=2-
e2
4，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）max=f（2）=2ln2-1，f（x）min=f（1）=-[1/4]．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=
(x−2)(ax−1)
x，…．（8分）
①0＜a＜[1/2]时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞[1/a]，
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（[1/a]，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜[1/a]，
所以f（x）的单调减区间是（2，[1/a]）；…．（10分）
②a=[1/2]时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；…．（11分）
③当a＞[1/2]时，由f′（x）＞0得0＜x＜[1/a]或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（0，[1/a]），（2，+∞），
由f′（x）＜0得[1/a]＜x＜2，
所以f（x）的单调减区间是（[1/a]，2）．…．（13分）
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