数列恒成立问题：a^n≥2n^3+1恒成立,n∈N+求a的取值范围
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n=1时,a>=3.
n=2时,a^2 >= 17,a>=(17)^(1/2),n=(17)^(1/2).
n=3时,a^3 >= 55,a>= (55)^(1/3),n=(17)^(1/2)>4.
f(x)=a^x - 2x^3 - 1,a>=(17)^(1/2),x>=3.
f'(x) = ln(a)*a^x - 6x^2
f''(x) = [ln(a)]^2*a^x - 12x,
f'''(x) = [ln(a)]^3*a^x - 12 > [ln(4)]^3*4^3 - 12 > 4^3 - 12 = 64 - 12 >0,f''(x)在x>=3时,单调递增.
f''(x) >= [ln(a)]^2 * a^3 - 12*3 > a^3 - 36 > 4^3 - 36 >0,f'(x)在x>=3时,单调递增.
f'(x) >= ln(a)*a^3 - 6*3^2 > a^3 - 54 > 4^3 - 54 >0,f(x)在x>=3时,单调递增.
a>=(17)^(1/2),x>=3时,f(x) >= a^3 - 2*3^3 - 1 > 4^3 - 54 - 1 = 64 - 55 >0,
因此,a>=(17)^(1/2)时,对于任意正整数n,总有,a^n >= 2*n^3 + 1成立.
a的取值范围为,a>=(17)^(1/2).
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