问一道线性代数的证明题关于这道题的必要性的证明我看不懂求解释谢谢- -
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首先如果一个矩阵A的秩r(A)=r,那么这个矩阵中任意r+1阶子式都等于0,这是一个定理,书上有证明,大致解释一下就是,如果矩阵的秩是r,那么对应的向量组就最多有r个线性无关的向量,所以r+1个向量一定线性相关,因此在r+1阶子式中的向量组一定线性相关,行列式等于0.这样我们得到aklaij=ailakj,现在我们来说一下这个题要证什么,由于矩阵A是给定的,所以其元素aij也都是确定的,我们只要能利用这些元素,让它们构成的列向量和行向量相乘等于矩阵A,就完成了证明.为此取A中第l列元素构成的列向量和第k行元素构成的行向量,让它们相乘,再利用刚才的等式aklaij=ailakj,就得到一个m*n的矩阵(aklaij),只有这里k和l是刚才就取定的,是两个常数,因此akl就也是一个常数,而i,j是变量,aij代表矩阵中各元素,现在用一个常数乘矩阵中各元素,按照矩阵乘法的定义,这个常数可以提到矩阵外,即矩阵(aklaij)=akl*矩阵aij,而矩阵aij就是A ,因此只要令刚才所选定的列向量每列都除akl为新的列向量,那么这个列向量和刚才的行向量相乘就得矩阵A,我们找到了所需的两个向量,也就完成了证明.有不明白的地方欢迎追问.
