已知函数f（x）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．

已知函数f（x）=（x2+ax-2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；

（2）当a≠[2/3]时，求函数y=f（x）的单调区间与极值．

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解题思路：（1）抓住两点①切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；②切点处的导数是切点的斜率．

（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论．

（1）当a=0时，f（x）=x2ex，f′（x）=（x2+2x）ex，故f′（1）=3e．

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．

（2）f′（x）=[x2+（a+2）x-2a2+4a]ex=（x+2a）•[x-（a-2）]ex，

令f′（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2，

由a≠[2/3]知，-2a≠a-2．

以下分两种情况讨论：

①若a＞[2/3]，则-2a＜a-2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x（-∞，-2a）-2a（-2a，a-2）a-2（a-2，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）上是增函数，在（-2a，a-2）上是减函数．

函数f（x）在x=-2a处取得极大值为f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a．

函数f（x）在x=a-2处取得极小值为f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2．

②若a＜[2/3]，则-2a＞a-2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x（-∞，a-2）a-2（a-2，-2a）-2a（-2a，+∞）

f′（x）+0-0+

f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）上是增函数，在（a-2，-2a）上是减函数．

函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2．

函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 切线问题是高考的热点，难度不大，只要抓住切点满足的两个条件，一般都能解决问题；第二问研究极值点一般要列表来解决问题．

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