已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠[2/3]时,求函数y=f(x)的单调区间与极值.
解题思路:(1)抓住两点①切点是公共点,代入曲线方程求出f(1)的值;②切点处的导数是切点的斜率.
(2)先求导数,令导数等于零找到所有可能的极值点,再通过列表法具体判断,注意对极值点大小的讨论.
(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex=(x+2a)•[x-(a-2)]ex,
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2,
由a≠[2/3]知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论:
①若a>[2/3],则-2a<a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a-2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)↑极大值↓极小值↑所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<[2/3],则-2a>a-2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x(-∞,a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)↑极大值↓极小值↑所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 切线问题是高考的热点,难度不大,只要抓住切点满足的两个条件,一般都能解决问题;第二问研究极值点一般要列表来解决问题.
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