过直线l：x+y-6=0上一点P（4，2）作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点为A、B，求：
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解题思路：（1）由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△ABP外接圆就是四边形AOBP的外接圆；
（2）要使切线长的最小，则必须点O到直线的距离最小．
由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，
∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2
5，
∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=5，
∴△ABP的外接圆方程为 （x-2）2+（y-1）2=5．
（2）要使切线长的最小，则必须点O到直线的距离最小．
∵圆心O到直线x+y-6=0的距离d=
6
2=3
2，
∴切线长的最小值为
(3
2)2−1=
17．
点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．
考点点评： 本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．解题的关键是找出切线长最短时的条件．
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