凸函数问题,求教.f（x）在（a,b）上市凸函数,求证：对任意X0∈（a,b）,f（x）在X0处连续
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取c,d使a < c < x0 < d < b.
对任意y ∈ (x0,d),对x0 < y < d由凸性有f(y) ≤ (y-x0)/(d-x0)·f(d)+(d-y)/(d-x0)·f(x0).
而对c < x0 < y由凸性有f(x0) ≤ (x0-c)/(y-c)·f(y)+(y-x0)/(y-c)·f(c),
重新整理得(y-c)/(x0-c)·f(x0)-(y-x0)/(x0-c)·f(c) ≤ f(y).
于是(y-c)/(x0-c)·f(x0)-(y-x0)/(x0-c)·f(c) ≤ f(y) ≤ (y-x0)/(d-x0)·f(d)+(d-y)/(d-x0)·f(x0).
当y → x0+时,左右两端 → f(x0),故lim{y → x0+} f(y)存在并等于f(x0),即f(x)在x0右连续.
完全对称的,对任意y ∈ (c,x0),分别对c < y < x0和y < x0 < d由凸性得:
(d-y)/(d-x0)·f(x0)-(x0-y)/(d-x0)·f(d) ≤ f(y) ≤ (y-c)/(x0-c)·f(x0)+(x0-y)/(x0-c)·f(c).
当y → x0-时,左右两端 → f(x0),故lim{y → x0-} f(y)存在并等于f(x0),即f(x)在x0左连续.
于是f(x)在x0处连续.
注:直观上说,凸性保证了过(x0,f(x0))与(y,f(y))的割线斜率关于y是单调增的.
因此对y ∈ (c,d),割线的斜率是有界的(上界(f(d)-f(x0))/(d-x0),下界(f(x0)-f(c))/(x0-c)).
函数在(x0,f(x0))附近的图像夹在一对对顶角区域内(或者说是领结状).
当y趋于x0时,f(y)必然趋近于f(x0).
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