A、B、C是圆O上的三点,CO延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D,若向量OC=mOA+nOB,求m+n的取值范围
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延长AO交⊙O于E,过C作CF∥EO交OB于F、作CG∥BO交OE于G.令⊙O的半径为r.
∵CF∥GO、CG∥FO,∴OFCG是平行四边形,∴向量OC＝向量OG＋向量OF.······①
∵向量OC＝m向量OA＋n向量OB＝m（－向量OE）＋n向量OB.······②
又O、G、E共线；O、F、B共线,∴由①、②,得：OG＝mOE＝mr、OF＝nOB＝nr.
∵OFCG是平行四边形,∴FC＝OG＝mr,显然有：OC＝r.
设∠OFC＝θ,则由余弦定理,有：OC^2＝FC^2＋OF^2－2FC×OFcosθ,
∴r^2＝（mr）^2＋（nr）^2－2（mr）（nr）cosθ,∴1＝m^2＋n^2－2mncosθ,
∴（m＋n）^2－2mn－2mncosθ＝1,∴（m＋n）^2－2（1＋cosθ）mn＝1.······③
很明显,m、n都是正数,∴m＋n≧2√（mn）,∴（m＋n）^2≧4mn,
∴－［（1＋cosθ）/2］（m＋n）^2≦－2（1＋cosθ）mn.······④
③＋④,得：（m＋n）^2－［（1＋cosθ）/2］（m＋n）^2≦1,
∴（1－cosθ）（m＋n）^2≦2,∴（m＋n）^2≦2/（1－cosθ）.······⑤
∵0°＜θ＜180°,∴－1＜cosθ＜1,∴－1＜－cosθ＜1,∴0＜1－cosθ＜2,
∴1/（1－cosθ）＞1/2,∴2/（1－cosθ）＞1.······⑥
由⑤、⑥,得：（m＋n）^2≦1,∴0＜m＋n≦1.
∴（m＋n）的取值范围是（0,1］.
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