解题思路：（1）求出导函数f′（x），利用导数的几何意义求出在点（0，f（0））处的切线的方程，再根据点斜式写出切线方程，把点（-1，2）代入切线方程，列出关于m的方程，求解即可得到m的值；（2）将∃x∈[0，3]，f（x）≤m，利用参变量分离转化为g（x）=x3-92x2+6x≤m-m2，即求g（x）min≤m-m2，再利用导数求出g（x）的最小值即可，求解即可得到m的取值范围．
（1）∵f（x）=x3-[9/2]x2+6x+m2，
∴f′（x）=3x2-9x+6，
∴切线的斜率k=f′（0）=6，又切点（0，m2），
根据点斜式，可得斜线的方程为y-m2=6x，即y=6x+m2，
∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线过点（-1，2），
∴2=6×（-1）+m2，
∴m=±2
2．
（2）∵∃x∈[0，3]，f（x）≤m，则等价于x3-
9
2x2+6x≤m-m2在[0，3]有解，
令g（x）=x3-
9
2x2+6x，
∴x3-
9
2x2+6x≤m-m2在[0，3]有解，即g（x）min≤m-m2，
以下求g（x）在[0，3]的最小值，
令g′（x）=3x2-9x+6=0，解得x=1或x=2，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，即g（x）在（0，1）单调递增，
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）单调递减，
当x∈（2，3）时，g′（x）＞0，即g（x）在（2，3）单调递增，
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2，
又∵g（0）=0，g（3）=[9/2]，
∴g（x）min=0，
∴0≤m-m2，解得0≤m≤1，
∴m的取值范围为[0，1]．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查了导数在某点处的几何意义即在改点处切线的几何意义，考查了运用导数求函数的最值．考查了存在性问题等价转化为有解问题，对于不等式有解问题，通常选用参变量分离的方法，转化为求函数的最值．属于中档题．
