已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若

a∈(-

π

3

，

π

2

)，f(a+

π

3

)=

1

3

，求

sin(2a+

2π

3

)

的值．

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解题思路：（1）由周期求出ω，由偶函数的定义结合φ 的范围求得φ 的值，从而得到函数的解析式．

（2）根据条件求得 cos（α+[π/3]）=[1/3]，再根据α+[π/3]的范围，求得 sin（α+[π/3]） 的值，再利用二倍角公式求得

sin(2a+

2π

3

)

的值．

（1）由题意可得 [2π/ω]=2π，解得ω=1，故函数f（x）=sin（x+φ）．

再由此函数为偶函数，可得φ=kπ+[π/2]，k∈z，结合0≤φ≤π可得φ=[π/2]，故f（x）=cosx．

（2）∵a∈(-

π

3，

π

2)，f(a+

π

3)=

1

3，∴cos（α+[π/3]）=[1/3]．

根据α+[π/3]∈（0，[5π/6]），∴sin（α+[π/3]）=

2

2

3．

∴sin(2a+

2π

3)=2sin（α+[π/3]）cos（α+[π/3]）=2×

2

2

3×[1/3]=

4

2

9．

点评：

本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的奇偶性．

考点点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，偶函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题．

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