直线交椭圆x^2/4+y^2/3=1交于A,B两点,如果满足OA⊥OB,证明：直线AB一定与一定圆相切,并求该定圆方程
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椭圆x²/4+y²/3=1
当直线斜率不存在时,
∵OA⊥OB
∴∠AOX=45º
设点A(x1,y1)则|x1|=|y1|=2√(12/7)
∴直线AB与圆x²+y²=12/7相切
当直线斜率存在时,设直线y=kx+b
y=kx+b与x²/4+y²/3=1联立,消去y
得：3x²+4(kx+b)²-12=0
即：(3+4k²)x²+8kbx+4b²-12=0
Δ=64k²b²+16(4k²+3)(b²-3)>0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-8kb/(4k²+3)
x1x2=(4b²-12)/(4k²+3)
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0
即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k²)x1x2+bk(x1+x2)+b²=0
∴(1+k²)(4b²-12)/(4k²+3)-8b²k²/(4k²+3)+b²=0
∴(4b²-12+4k²b²-12k²)-8k²b²+4k²b²+3b²=0
∴7b²-12-12k²=0
∴b²/(1+k²)=12/7
原点和直线y=kx+b的距离
d=|b|/√(k²1)=√(12/7)
直线AB与圆x²+y²=12/7相切
∴直线AB一定与一定圆相切
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