鬼谷子考徒弟,一道很经典的老题,能看出一个人的数学思维的高低.

鬼谷子考徒弟,一道很经典的老题,能看出一个人的数学思维的高低.

孙膑,庞涓都是鬼谷子的徒弟；一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数,把和告诉庞,把积告诉孙.

庞说：我虽然不能确定这两个数是什么,但是我肯定你也不知道这两个数是什么.

孙说：我本来的确不知道,但是听你这么一说,我现在能够确定这两个数字了.

庞说：既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.

问这两个数字是什么?为什么?

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解题思路1：

假设数为 X,Y;和为X+Y=A,积为X*Y=B.

根据庞第一次所说的：“我肯定你也不知道这两个数是什么”.由此知道,X+Y不是两个素数之和.那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.

我们再计算一下B的可能值：

和是11能得到的积:18,24,28,30

和是17能得到的积:30,42,52,60,66,70,72

和是23能得到的积:42,60...

和是27能得到的积:50,72...

和是29能得到的积:...

和是35能得到的积:66...

和是37能得到的积:70...

.

我们可以得出可能的B为.,当然了,有些数（30=5*6=2*15）出现不止一次.

这时候,孙依据自己的数比较计算后,“我现在能够确定这两个数字了.”

我们依据这句话,和我们算出来的B的集合,我们又可以把计算出来的B的集合删除一些重复数.

和是11能得到的积:18,24,28

和是17能得到的积:52

和是23能得到的积:42,76...

和是27能得到的积:50,92...

和是29能得到的积:54,78...

和是35能得到的积:96,124...

和是37能得到的积:,...

.

因为庞说：“既然你这么说,我现在也知道这两个数字是什么了.”那么由和得出的积也必须是唯一的,由上面知道只有一行是剩下一个数的,那就是和17积52.那么X和Y分别是4和13.

解题思路2：

说话依次编号为S1,P1,S2.

设这两个数为x,y,和为s,积为p.

由S1,P不知道这两个数,所以s不可能是两个质数相加得来的,而且s＜＝41,因为如果s＞41,那么P拿到41×（s－41）必定可以猜出s了（关于这一点,参考老马的证明,这一点很巧妙,可以省不少事情）.所以和s为{11,17,23,27,29,35,37,41}之一,设这个集合为A.

1).假设和是11.11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6,如果P拿到18,18＝3×6＝2×9,只有2＋9落在集合A中,所以P可以说出P1,但是这时候S能不能说出S2呢?我们来看,如果P拿到24,24＝6×4＝3×8＝2×12,P同样可以说P1,因为至少有两种情况P都可以说出P1,所以A就无法断言S2,所以和不是11.

2).假设和是17.17＝2＋15＝3＋14＝4＋13＝5＋12＝6＋11＝7＋10＝8＋9,很明显,由于P拿到4×13可以断言P1,而其他情况,P都无法断言P1,所以和是17.

3).假设和是23.23＝2＋21＝3＋20＝4＋19＝5＋18＝6＋17＝7＋16＝8＋15＝9＋14＝10＋13＝11＋12,咱们先考虑含有2的n次幂或者含有大质数的那些组,如果P拿到4×19或7×16都可以断言P1,所以和不是23.

4).假设和是27.如果P拿到8×19或4×23都可以断言P1,所以和不是27.

5).假设和是29.如果P拿到13×16或7×22都可以断言P1,所以和不是29.

6).假设和是35.如果P拿到16×19或4×31都可以断言P1,所以和不是35.

7).假设和是37.如果P拿到8×29或11×26都可以断言P1,所以和不是37.

8).假设和是41.如果B拿到4×37或8×33,都可以断言P1,所以和不是41.

综上所述：这两个数是4和13.

解题思路3：

孙庞猜数的手算推理解法

1)按照庞的第一句话的后半部分,我们肯定庞知道的和S肯定不会大于54.

因为如果和54

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