如图在rt三角形abc中角acb等于90度,bc=3,ac=4,点d在ab上,e在射线bc上,且be=bd
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（1）
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE‖AC；
（2）
1)当△BME∽△CNE时,得∠MBE=∠NCE
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC,BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE‖AC
∴ BE/BC=BD/AB即
BD= AB/2=(1/2)√(AC^2+BC^2)=5
∴AD=5
2)当△BME∽△ENC时,得∠EBM=∠CEN
∴EN‖BD
∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB•CD=AC•BC
∴CD= 24/5
∴AD=√(AC^2-CD^2)=18/5
综上,当AD=5或18/5时,△BME与△CNE相似；
（3）
由角平分线性质易得S△MDE=S△DEN= DM•ME/2
∵S四边形MEND=S△BDE
∴ BD•EM/2=DM•EM
即DM= BD/2
∴EM是BD的垂直平分线
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴ CD/BC=CE/CD=DE/BD ①
CD/BC=BE/BD=BE/(2BM)
即CD=4BE/BM
∴COSB=BM/BE=4/5
∴CD=4×5/4 =5
由①式得CE=CD^2/BC=25/8
∴BE= 39/8
∴BM=BECOSB=4/5*39/8=39/10
∴AD=AB-2BM=10-2*39/10=11/5．
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