在四凌锥P-ABCD中,PD垂直底面 ABCD,ABCD为正方形,PD=AB,G为三角形 ABC的重心,求PG与底面夹角
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设正方形ABCD边长为a (a>0),则PD=AB=a,BD=√(AB^2+AD^2)=√(a^2+a^2)=√2a

记AC交BD于O,则由于四边形ABCD是正方形

有BO=BD/2=√2a/2,且BO是△ABC中AC边上的中线

由于G是△ABC的重心,BG=2BO/3=√2a/3,则DG=BD-BG=√2a-√2a/3=2√2a/3

由PD⊥平面ABCD得PD⊥DG,所以在Rt△DGP中,∠PDG=90°

有PG=√(PD^2+DG^2)=√(a^2+(2√2a/3)^2)=√17a/3

则cos∠DGP=DG/PG=(2√2a/3)/(√17a/3)=(2√34)/17

即PG与底面所成角的余弦值为(2√34)/17

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