下面用《nC0》表示从n个中取出0个的组合数,
《nC1》表示从n个中取出1个的组合数,
…………
《nCk》表示从n个中取出k个的组合数.
(1/k)* 《nC(k-1)》=(1/k)*[n!/((k-1)!*(n-k+1)!)]
= n!/(k!*(n-k+1)!)
=(1/(n+1))* [(n+1)!/(k!*(n-k+1)!)]
=(1/(n+1))* 《(n+1) C k》.k=1,2,3……,(n+1).
nC0-1/2 nC1+1/3nC2-.+(-1)^n*1/(n+1)nCn
=(1/(n+1))* 《(n+1) C 0》-(1/(n+1))* 《(n+1) C 1》
+(1/(n+1))* 《(n+1) C 2》-……+(-1)^n* (1/(n+1))* 《(n+1) C n》
=(1/(n+1))*[ 《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》]
∵(1-1)^(n+1)= 《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》
+(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》,
即0=《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》
+(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》,
∴《(n+1) C 0》-《(n+1) C 1》+《(n+1) C 2》-……+(-1)^n*《(n+1) C n》
=-(-1)^(n+1)*《(n+1) C (n+1)》=(-1)^n.
将结果代入上式可得：
nC0-1/2 nC1+1/3nC2-.+(-1)^n*1/(n+1)nCn
=(1/(n+1))* (-1)^n.
