将边长为1的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小
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解题思路：先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值．

设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3-x，

梯形的面积为

3

4(1−x2)，

∴S=

(3−x)2

3

4(1−x2)（0＜x＜1），

∴S′=

4

3•

−2(3x−1)(x−3)

(1−x2)2，

令S′=0，∵0＜x＜1，∴x=[1/3]，

当0＜x＜[1/3]时，S′＜0，当[1/3]＜x＜1时，S′＞0，

∴x=[1/3]时，S取极小值，也为最小值，且为

32

3

3．

故答案为：

32

3

3．

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，考查导数知识的运用，属于中档题．

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