设f（t）是可导的正函数，且f（-t）=f（t），令g（x）=∫a−a|x-t|f（t）dt，-a≤x≤a，a＞0，证明
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解题思路：（1）利用积分上限函数的求导公式计算可得g″（x）＞0，从而可得g′（x）单调增加；（2）利用g′（x）=0可得g（x）的唯一的驻点x=0；由g″（0）＞0可得f（0）为极小值，从而为最小值；（3）由g（x）的最小值=f（a）-a2-1，对a求导可得f（x）的一阶微分方程，求解即得f（t）．
（1）因为
g（x）=
∫a−a|x−t|f(t)dt
=
∫x−a(x−t)f(t)dt+
∫ax(t−x)f(t)dt
=x
∫ x−af(t)dt-
∫x−atf(t)dt+x
∫ xaf(t)dt-
∫xatf(t)dt，
则由积分上限函数的求导公式可得，
g′（x）=
∫x−af(t)dt+
∫xaf(t)dt，
g″（x）=2f（x）＞0，
所以g′（x）单调增加．
（2）因为f（-t）=f（t），所以
∫xaf(t)dt
u＝−t
.
∫−x−af(−u)(−du)
f(−u)＝f(u)
.
−∫−x−af(u)du
=
∫−a−xf(t)dt，
从而，
g′（x）=
∫x−af(t)dt+
∫xaf(t)dt
=
∫x−af(t)dt+
∫−a−xf(t)dt
=
∫x−xf(t)dt
=2
∫x0f(t)dt．
令g′（x）=2
∫
点评：
本题考点： 多元函数的最大值和最小值的求解；函数的最大值和最小值；积分上限函数及其求导；一阶线性微分方程的求解．
考点点评： 本题综合考察了连续函数的最值、积分上限函数的求导、一阶线性微分方程的求解，综合性较强，难度适中．
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