怎么证明函数f(x)=1/x的切线在x轴上的截距和y轴上的截距是对称的?
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其实写成f(x) = 1/x的时候,x,y就已经不对称了.
不过这不妨碍我们得到对称的结果,因为结果对称不一定过程也对称.
求导得f'(x) = -1/x².
设(a,b)为曲线上一点,有b = 1/a.
该点处的切线斜率为-1/a².
切线方程为y = -(x-a)/a²+b = -x/a²+1/a+b = -x/a²+2b = -(x-2a)/a².
于是y轴截距2b,x轴截距2a.
其实也有对称的方法.
曲线方程为xy = 1.
设(a,b)为曲线上一点,即ab = 1.
求二次曲线上一点处的切线,可以用形式替换法则.
(a,b)处的切线方程为(ay+xb)/2 = 1.
y轴截距为2/a = 2b,而x轴截距为2/b = 2a.
形式替换是一种写出二次曲线上一点处切线方程的方法.
设(x0,y0)为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F = 0上一点.
则该点处切线方程为Ax0x+B(x0y+y0x)/2+Cy0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2+F = 0.
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