高二数学已知椭圆E:(x^2/4+(y^2/3)=1,试确定m的取值范围,使得椭圆E上存在不同的两点关于直线l:y=4x
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设A、B关于直线l:y=4x+m对称,∴直线l就是线段AB的中垂线.∴AB的斜率k*4=-1,k=-1/4

设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0)

则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

且k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4,即x1-x2= - 4(y1-y2)

把A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程得

x1²/4 + y1²/3=1.①

x2²/4 + y2²/3=1.②

①-②得

(x1-x2)²/4 + (y1-y2)²/3=0

(x1-x2)(x1+x2)/4 + (y1-y2)(y1+y2)/3=0

把x1-x2= - 4(y1-y2)代入得

-(x1+x2) + (y1+y2)/3=0

即y1+y2=3(x1+x2)

又∵x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,代入得

y0=3x0.③

中点M(x0,y0)在直线l:y=4x+m上,代入得

y0=4x0+m.④

由③④解得

x0= - m,y0= - 3m

∵中点M肯定在椭圆内部

∴满足x0²/4 + y0²/3＜1

把x0= - m,y0= - 3m代入得

m²/4 + 9m²/3＜1

∴ - (2√13)/13＜m＜(2√13)/13

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