高数来做啊求dy/dx=x(1+y*y)/(1+x*x)y满足初始条件x=0时候y=1的特解求y’=(x+2y)/(2x
3个回答
这是两道题么
1.求dy/dx=x(1+y*y)/(1+x*x)y满足初始条件x=0时候y=1的特解
这是可分离变量方程,分离后得到：
∫dy/(1+y^2)=∫xdx/(1+x^2)
解得：arctany=ln(1+x^2)/2+c
由初始条件可得：arctan1=c ,即c＝π/4
因此所求解为：y=tan[π/4+ln(1+x^2)/2]
2.求y’=(x+2y)/(2x-y)的通解
变形为 y'=(1+2y/x)/(2-y/x)
令y/x=u,则y'=u+xu',代入上式得
u+xu'=(1+2u)/(2-u)
变形得到：xu'=(1+u^2)/(2-u)
分离变量可得 (2-u)/(1+u^2)du=dx/x
两边积分得：2arctanu-ln(1+u^2)/2=lnx+c1
或 2arctanu=ln(x^2+x^2*u^2)/2+c1
将u=y/x代回得到：2acrtan(y/x)=ln(x^2+y^2)/2+c1
或 y=xtan[ln(x^2+y^2)^(1/4))+C]
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