已知△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C=70°,P在△ABC内,∠PBC=20°,∠PCB=40°;求证:PB+PC=
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这道题有点小难度,要分两步走,首先要先求出角PAC的度数,如下图:

过P做BC平行线,在线上取一点G使得角GBC=40,显然GBCP是等腰梯形,易证三角形AGP也是等腰三角形,过A作GP的垂线AF,有:FP=FG,FP=GP/2

又因为角GBP=40-角PBC=20=角PBC=角GPB,所以GB=GP=PC

角BEC=180-角EBC-角ECB=180-20-70=90,角ECP=70-40=30,所以在直角三角形CEP中,EP=PC/2,从而EP=GP/2=FP,利用HL性质可知:直角三角形APF和APE全等

所以角PAE=角PAF=角BAC/2/2=40/2/2=10度,这是第一步的结论.

接下来:延长BP至D使得PD=PC,与AC相交于E,连接AD

角DPC=角PBC+角PCB=20+40=60,易证三角形PCD是等边三角形,又PD垂直于AC,所以角PCE=角DCE(=30),从而三角形ACP全等于ACD,有AD=AP

接下来求证AD=BD:

角ABD=角ABC-角PBC=70-20=50

角BAD=角BAC+角PAE=40+10+50

所以AD=BD,即有AP=BD=BP+PD=BP+PC,证毕