一个若干位数的整数,第一位数放到最后一位后得到的新数是该整数的1/4,请问符合条件的最小整数是几位数?
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反过来说,一个数,把个位挪到首位,得到的数是原来的4倍.
令这个数为AX……YB的形式,
则BAX……Y是原数的4倍,
易知A = 1、2,B = 4A + 1或2或3且B≤9.
设X……Y共有N位
原数 = A×10^（N + 1）+ X……Y×10 + B
新数 = B×10^（N + 1）+ A×10^N + X……Y
根据题意有
4×A×10^（N + 1）+ 4×X……Y×10 + 4×B = B×10^（N + 1）+ A×10^N + X……Y
即
39×A×10^N + 39×X……Y = B×(1×10^（N + 1）- 4)
X……Y = B×(1×10^（N + 1）- 4)/39 - A×10^N
即求
1×10^（N + 1）- 4 能被39整除.
且X……Y = B×(1×10^（N + 1）- 4)/39 - A×10^N 的位数与 N相当.
易知N = 4、10、16……时,1×10^（N + 1）- 4能被13整除.
1×10^（N + 1）- 4被13整除的商的形式为256410256410……【256410循环取前N位】.
要使数字最小,不妨令N = 4
此时,解得可能的A、X……Y、B,即原A X……Y B 为：
1 2820 5
1 5384 6
1 7948 7
2 3076 9
显然最小的是128205 × 4 = 512820
则回到原题,所求的最小数字是512820,把首位5移到末位后得数128205,是原数的1/4.
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