对任意函数 f、g、h,有（f g）h = f（g h）,
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随便找一本数学分析的教科书都会提到.

首先,所给命题不对,并非对任意函数 f、g、h,都有(f·g)·h = f·(g·h)成立.需要一定的条件.

设 f :A1 → B1,g :A2→B2,h :A3→B3.

若X为A1的子集,记f(X)={ f(x) | x∈X},于是f(A1)表示f的值域.只有当h(A3)是A2的子集时,复合函数g·h才有意义,当g(A2)是A1的子集时,复合函数f·g才有意义.

根据复合函数的定义：g·h :A3→B2,x ├→ g(h(x)),即(g·h)(x)=g(h(x)),

那么

(f·(g·h))(x)=f((g·h)(x))=f(g(h(x))),

((f·g)·h)(x)=(f·g)(h(x))=f(g(h(x))),

即对任意x∈A3,(f·(g·h))(x)=((f·g)·h)(x),

所以f·(g·h)=(f·g)·h.

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