已知函数f（x）=ax-ln（2x+1），其中a∈R．
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（I）f′（x）=a-
2
2x+1 ，
∴函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
∴f′（0）=a-2=2，
∴a=4．
（II）由已知得函数f（x）的定义域为（-
1
2 ，+∞），且f′（x）=a-
2
2x+1 ，
（1）当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-
1
2 ，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得 x=
2-a
2a ＞-
1
2 ．f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表
x (-
1
2 ，
2-a
2a )
2-a
2a (
2-a
2a ，+∞)
f′（x） - 0 +
f（x） 减 极小值 增 从上表可知
当 x∈(-
1
2 ，
2-a
2a ) 时，f′（x）＜0，函数f（x）在 (-
1
2 ，
2-a
2a ) 上单调递减．
当 x∈(
2-a
2a ，+∞) 时，f′（x）＞0，函数f（x）在 (
2-a
2a ，+∞) 上单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（-
1
2 ，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在 (-
1
2 ，
2-a
2a ) 上单调递减，函数f（x）在 (
2-a
2a ，+∞) 上单调递增．
（III）函数f（x）的图象总是在直线 y=2ax+
1
2 a 的上方，
即ax-ln（2x+1）＞ 2ax+
1
2 a 在（-
1
2 ，+∞）上恒成立，
即a＜ -
2ln(2x+1)
2x+1 在（-
1
2 ，+∞）上恒成立．
设G（x）= -
2ln(2x+1)
2x+1 ，则G′（x）=
4ln(2x+1)-4
(2x+1) 2 ，
令G′（x）＞0得x＞
e-1
2 ，G′（x）＜0得-
1
2 ＜x＜
e-1
2 ，G′（x）=0得x=
e-1
2 ，
∴G（x）在x=
e-1
2 处取得最小值G（
e-1
2 ）=-
2
e ．
∴a＜-
2
e ．
∴a的取值范围：a＜-
2
e ．
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