已知f(x)＝sin(x−3π)•cos(2π−x)•sin(−x+3π2)cos(−x−π)•cos(π2−x)
1个回答
解题思路：（1）根据诱导公式化简，得f（x）=-cosx．再由sin（-x-π）=
−
4
5
得sinx=
−
4
5
，利用同角三角函数的关系结合x是第三象限的角，算出f（x）=-cosx=[3/5]；
（1）由f（x）表达式，结合诱导公式与同角三角函数的平方关系化简，得
y＝2
f
2
(x)+f(
π
2
+x)+1
═-2（sinx-[1/4]）2+[25/8]，再由二次函数的单调性结合sinx∈[-1，1]，即可算出所求函数的值域．
根据题意，得
f(x)＝
sin(x−3π)•cos(2π−x)•sin(−x+
3π
2)
cos(−x−π)•cos(
π
2−x)
=
−sinx•cosx•sin(−x−
π
2)
−cosx•sinx=sin（-x-[π/2]）=-sin（[π/2]-x）=-cosx
（1）∵x是第三象限的角，且sin（-x-π）=−
4
5，
∴sinx=−
4
5，可得cosx=-
1−sin2x=-[3/5]，
由此可得f（x）=-cosx=[3/5]；
（2）函数y＝2f2(x)+f(
π
2+x)+1=2cos2x-cos（[π/2+x）+1
即y=2cos2x+sinx+1=-2（sinx-
1
4]）2+[25/8]
∵sinx∈[-1，1]，
∴当sinx=[1/4]时，函数的最大值为[25/8]；当sinx=-1时，函数的最小值为0
因此，函数y＝2f2(x)+f(
π
2+x)+1的值域为[0，[25/8]]
点评：
本题考点： 运用诱导公式化简求值．
考点点评： 本题题将一个三角函数式化简，求特殊函数值并求另一函数的值域．着重考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系与二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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