函数f(x)=x|sinx+a|+b是奇函数的充要条件
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充要条件为:a=b=0

证明如下:

必要性:由f(x)为奇函数,推出a=b=0

1,f(0)=0,故b=0

2,x不等于0时:

f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0

所以 -x|sin(-x)+a|+x|sinx+a|=0

因为 x不等于0,故可化简为

|sinx+a|=|-sinx+a|

所以,要么sinx+a=-sinx+a 要么 sinx+a=-(-sinx+a)

前者推出sinx=0,故不满足所有x的取值

后者推出a=0,sinx可为任意值.

充分性:由a=b=0,推出f(x)为奇函数

若a=b=0,

则f(-x)=-x|sin(-x)|=-x|-sinx|=-x|sinx|=-f(x)

证毕