已知函数f（x）=ax2+bx+1+lnx．
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解题思路：（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间，从而可得函数的极值；
（II）（1）根据f（x）在x=1，和x=[1/2]处取得极值，建立方程组，从而可得函数解析式；
（2）确定函数的极大值，从而可得函数的最值，即可求m的取值范围．
（Ⅰ）当a=b=-1时，f′(x)＝−2x−1+
1
x=-
(2x−1)(x+1)
x…（2分）
由于x＞0，由f′（x）＞0即
(2x−1)(x+1)
x＜0，可得0＜x＜[1/2]
∴f（x）的单调递增区间为(0，
1
2)，
又函数的单调减区间是（[1/2]，+∞）（4分）
∴f(x)极大值＝f(
1
2)＝
1
4−ln2，f（x）无极小值…（6分）
（Ⅱ）（1）f′（x）=
2ax2+bx+1
x…（7分）
∵f（x）在x=1，和x=[1/2]处取得极值
∴f′(1)＝f′(
1
2)=0…（8分）
∴
2a+b+1＝0
a+b+2＝0
∴a=1，b=-3
∴f（x）的解析式是f（x）=x2-3x+1+lnx…（9分）
（2）由（1）得f′(x)＝
(2x−1)(x+1)
x．
∴当x∈[
1
4，
1
2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[
1
4，
1
2]单调递增．
x∈[
1
2，1]时，f′（x）＜0，故f（x）在[
1
2，1]单调递减
x∈[1，2]时，f′（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增…（11分）
∴f(x)极大值＝f(
1
2)＝
1
4−ln2…（12分）
而f（2）=-1+in2
∵f(2)−f(
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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