（2010•建德市模拟）已知函数f(x)＝13ax3+bx2+3x−2，其中a≠0
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解题思路：（1）先求出f′（x），把a=1时代入到导函数中，然后因为f（x）的导函数的图象关于直线x=2对称得到b的值，确定出函数解析式．在区间[0，2]上讨论函数的增减性，判断求得函数的最小值；
（2）由f（x）在区间（0，1]上单调递增得到导函数大于0，ax2+2bx+3＞0，∀x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax2-3即2b＞
−a
x
2
−3
x
=-（ax+[3/x]），设y=ax+[3/x]，讨论a的取值求出y的最小值即可得到b的取值范围．
f′（x）=ax2+2bx+3（2分）
（1）∵a=1
∴f′（x）=x2+2bx+3=（x+b）2+3-b2，
f（x）的导函数的图象关于直线x=2对称
∴b=-2，f′（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）（4分）
f（x）在区间[0，2]上的最小值=min{{f(0)，f(2)}＝min{−2，−
4
3}＝−2（7分）
（2）由a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，
知：ax2+2bx+3＞0，∀x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax2-3
∵x＞0，∴2b＞−(ax+
3
x)⇒2b＞−(ax+
3
x)max（10分）
为求最大值，先以下求函数y＝ax+
3
x的最小值y′＝a−
3
x2＝
ax2−3
x2＝
a(x−
3
a)(x+
3
a)
x2
当
3
a＜1时，y′（x）在(0，
3
a)上为负，在(
3
a
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及理解不等式恒成立时所取的条件．
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