已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
1个回答
（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax 2+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根
∴
b+2
a =-4
c
a =3
∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
∴△=b 2-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1） 2-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴ a=-
1
5 或a=1（舍）
∴ a=-
1
5 ，b=-
6
5 ，c=-
3
5
∴ f(x)=-
1
5 x 2 -
6
5 x-
3
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax 2-2（2a+1）x+3a= a(x-
2a+1
a )-
(2a+1) 2
a +3a =
- a 2 -4a-1
a
∵a＜0，
∴f（x）的最大值为
- a 2 -4a-1
a
∵f（x）的最大值为正数
∴
a＜0
- a 2 -4a-1
a ＞0
∴
a＜0
a 2 +4a+1＞0 解得 a＜-2-
3 或 -2+
3 ＜a＜0
∴所求实a的取值范围是 (-∞，-2-
3 )∪(-2+
3 ，0)
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