先分析一下抛物线y=ax²+bx+c 与 x轴的交点情况.
因为 交点在 x轴 上,
所以 交点的纵坐标 为 O.即此时 y=0
则有 ax² + bx+c = 0 这就转化为判别一元二次方程根的情况
故 一元二次方程根的个数 即为 抛物线与x轴交点的个数.
证明：（1）一元二次方程 x² --（m²+4）x --2m²--12=0的根的判别式为
△ = b² - 4ac
= [ -- (m²+4) ]² -- 4 × 1 × （ --2m²--12 ）
= （ m²+8 ）² 它显然大于零.
故 不论m何值,抛物线与x轴总有两个交点.
如何证明其中一个交点是（-2,0）呢?
就是让证明方程有一根为--2 .（ 注意：是让证明,不能把x= --2代入方程!）
事实上,对原方程左边因式分解得 （ x+2 ）（ x--m²--6 ）= 0
x1 = --2 x2 = m²+6
故 抛物线与x轴有一个交点为 （ --2,0 ）.
（2） 由（1 ）问 可知另一个交点为 （ m²+6,0）
因 m²+6＞0 ,故该点在 （ --2,0 ）右侧,而不会在（--2,0）左侧.
由抛物线在x轴上截得线段长为12得：
（ m²+6 ） -- （ --2 ）= 12
m² = 4
所以 m=2 或 m=--2
故 当 m=2 或m=--2 时,抛物线在x轴上截得的线段长为12 .（不存在其他情形!）
补充：第二问 您也可这样考虑：
一个交点为 （--2,0） 且图像在x轴上截得线段长为12
故 另一交点坐标应为 （ --14,0 ）或（ 10,0 ）
但本题含参数m,最后还需检验,麻烦且易遗漏.
本题实际上不会有（ --14,0 ）那个交点.
至于检验,观察方程：x² --（m²+4）x --2m²--12=0 由根与系数关系知两根之和为 m²+4,它显然大于零,而 --2 + --14 小于零,故不能有--14 那个根.所以
--14,0 ）那个交点.
