解题思路：（1）将问题转化为研究函数在区间[-1，1]上的单调性求最值的问题．
（2）利用导数的几何意义以及导数的应用建立条件关系即可，要注意对点是否在曲线上进行讨论．
（1）∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
fmax（x）=f（-1）=2，fmin（x）=f（1）=-2
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|
即|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|=2-（-2）=4成立．
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，
设切点为（x0，y0）
则y0=x03-3x0，k=f'（x0）=3x02-3．
则切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0），
将A（1，m）代入上式，整理得2x03-3x02+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x3-3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g'（x）=6x2-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表
x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
g'（x） + 0 - 0 +
g（x） 递增 极大 递减 极小 递增当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2．
由题意有，当且仅当
g(0)＞0
g(1)＜0，即
m+3＞0
m+2＜0，
解得-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．
故m的范围是（-3，-2）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．综合性较强，运算量较大．
