(本小题满分12分) 设不等式组 表示的平面区域为 ,区域 内的动点 到直线 和直线 的距离之积为2, 记点 的轨迹为曲
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k ＝－
由题意可知，平面区域
如图阴影所示．设动点为
，则
，即
．
由
知
， x － y <0，即 x 2－ y 2<0．
所以 y 2－ x 2＝4( y ＞0)，即曲线
的方程为
－
＝1( y ＞0)
设
，
，则以线段
为直径的圆的圆心为
.
因为以线段
为直径的圆
与
轴相切，所以半径
，即
因为直线 AB 过点 F (2
，0)，当 AB ^ x 轴时，不合题意．所以设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x －2
)．代入双曲线方程
－
＝1( y ＞0)得:
k 2( x －2
) 2－ x 2＝4，即
( k 2－1) x 2－4
k 2x ＋(8 k 2－4)＝0．
因为直线与双曲线交于 A ， B 两点，所以 k ≠±1．于是
x 1＋ x 2＝
， x 1x 2＝
．
故 | AB |＝
＝
＝
＝| x 1＋ x 2|＝|
|，
化简得： k 4＋2 k 2－1＝0
解得: k 2＝
－1 （ k 2＝－
－1不合题意，舍去）．
由△＝(4
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