已知向量组（Ⅰ）α1，α2，α3的秩为3，向量组（Ⅱ）α1，α2，α3，α4的秩为3，向量组（Ⅲ）α1，α2，α3，α5
1个回答
解题思路：用反证法，先假设反命题成立，然后推出与已知条件向量组（Ⅲ）α1，α2，α3，α5的秩为4矛盾即可得证．
证明：向量组α1，α2，α3的秩为3，向量组α1，α2，α3，α4的秩为3，
所以α1，α2，α3为向量组α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，
因此α4可唯一的由α1，α2，α3线性表示；
假设向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩不为4，
又因为向量组α1，α2，α3的秩为3，
所以向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为3，
因此α5-α4也可唯一的由α1，α2，α3线性表示，
因此α5可唯一的由α1，α2，α3线性表示；
而向量组α1，α2，α3，α5的秩为4，即α1，α2，α3，α5线性无关，
因此α5不能由α1，α2，α3线性表示，矛盾．
因此向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
证毕．
点评：
本题考点： 向量组的秩的求解．
考点点评： 本题考查向量组秩的求解．需注意各种组合（四则运算）中向量组秩的变化．
相关问题
