如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．

①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．

以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：

①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①．

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；

（2）请证明你认为正确的命题．

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1个回答

解题思路：根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题的真假．

（1）①②⇒③，正确；①③⇒②，错误，不符合三角形的判定；②③⇒①，正确．

（2）先证①②⇒③．如图．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF．

∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．

设AD与EF交于G，则△DEG≌△DFG，

∴∠DGE=∠DGF．

∴∠DGE=∠DGF=90°．

∴AD⊥EF．

再证②③⇒①．如图2，

设AD的中点为O，连接OE，OF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线．

∴OE=[1/2]AD，OF=[1/2]AD．

即点O到A、E、D、F的距离相等．

∴四点A、E、D、F在以O为圆心，[1/2]AD为半径的圆上，AD是直径．

∴EF是⊙O的弦．

∵EF⊥AD，

∴∠DAE=∠DAF．

即AD平分∠BAC．

点评：

本题考点：圆内接四边形的性质．

考点点评：本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合运用．

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