解题思路:(I)通过已知的关系式直接求a1,a2;
(II)利用an+1=Sn+1-Sn,与已知的关系式,推出数列{Sn}是等比数列,即可求数列{an}的前n项和Sn;
(III)设bn=log2Sn,求出bn的表达式,求出数列{cn}的通项公式,通过裂项法求数列{cn}的前n项和.
(I)∵a1=a2,a1+a2=a3,
∴2a1=a3=1,
∴a1=
1
2,a2=
1
2.…2分
(II)∵Sn=an+1=Sn+1-Sn,
∴2Sn=Sn+1,
Sn+1
Sn=2,…6分
∴{Sn}是首项为S1=a1=
1
2,公比为2的等比数列.
∴Sn=
1
2•2n−1=2n−2.(n∈N*).…9分
(III)∵bn=log2Sn,Sn=2n-2,
∴bn=n-2,bn+3=n+1,bn+4=n+2,
∴cn•(n+1)(n+2)=1,cn=
1
(n+1)(n+2)=[1/n+1−
1
n+2].…11分
∴c1+c2+…+cn=(
1
2−
1
3)+(
1
3−
1
4)+…+(
1
n+1−
1
n+2)=
1
2−
1
n+2=
n
2n+4.…14分
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和;数列与函数的综合.
考点点评: 本题是中档题,考查数列递推关系式的应用,数列通项公式的求法,前n项和的求法,考查计算能力,逻辑推理能力.