(文科做)数列{an}中,a3=1,Sn=an+1(n=1,2,3…).
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解题思路:(I)通过已知的关系式直接求a1,a2

(II)利用an+1=Sn+1-Sn,与已知的关系式,推出数列{Sn}是等比数列,即可求数列{an}的前n项和Sn

(III)设bn=log2Sn,求出bn的表达式,求出数列{cn}的通项公式,通过裂项法求数列{cn}的前n项和.

(I)∵a1=a2,a1+a2=a3

∴2a1=a3=1,

∴a1=

1

2,a2=

1

2.…2分

(II)∵Sn=an+1=Sn+1-Sn

∴2Sn=Sn+1,

Sn+1

Sn=2,…6分

∴{Sn}是首项为S1=a1=

1

2,公比为2的等比数列.

∴Sn=

1

2•2n−1=2n−2.(n∈N*).…9分

(III)∵bn=log2Sn,Sn=2n-2

∴bn=n-2,bn+3=n+1,bn+4=n+2,

∴cn•(n+1)(n+2)=1,cn=

1

(n+1)(n+2)=[1/n+1−

1

n+2].…11分

∴c1+c2+…+cn=(

1

2−

1

3)+(

1

3−

1

4)+…+(

1

n+1−

1

n+2)=

1

2−

1

n+2=

n

2n+4.…14分

点评:

本题考点: 数列递推式;数列的求和;数列与函数的综合.

考点点评: 本题是中档题,考查数列递推关系式的应用,数列通项公式的求法,前n项和的求法,考查计算能力,逻辑推理能力.