数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…）．证明：
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解题思路：（Ⅰ）要证数列{
S
n
n
}是等比数列；需证
S
n+1
n+1
S
n
n
＝2
（n=1，2，3，…）成立，另外应说明
S
2
2
S
1
1
＝2
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{
S
n
n
}是首项为1，公比为2的等比数列，可得Sn的通项公式，代入an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…）可得Sn+1=4an．说明当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．
（I）证：由a1=1，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，），
知a2=[2+1/1]S1=3a1，
S2
2＝
4a1
2＝2，
S1
1＝1，∴
S2
2
S1
1＝2
又an+1=Sn+1-Sn（n=1，2，3，…），则Sn+1-Sn=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，），
∴nSn+1=2（n+1）Sn，
Sn+1
n+1
Sn
n＝2（n=1，2，3，…），
故数列{
Sn
n}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：Sn+1=4an．当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．
由（1）知：
Sn
n＝1×2n−1，∴Sn=n2n-1
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=2n（2n-n+1）=（n+1）2n=Sn+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an．
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a1应加以说明．
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