已知函数f(x)＝cosx+1x2+xsinx+1，对于区间[−π2，π2]上的任意实数x1、x2，有如下条件：
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解题思路：先判断函数为偶函数，再考虑函数在
[0，
π
2
]
上的单调性，然后利用单调性的定义验证正确的条件，列举反例判断不正确的条件即可
函数的定义域为[−
π
2，
π
2]，f(−x)＝
cos(−x)+1
(−x)2+(−x)sin(−x)+1＝
cosx+1
x2+xsinx+1＝f(x)
∴函数f(x)＝
cosx+1
x2+xsinx+1是偶函数
∴可先考虑函数在[0，
π
2]上的单调性
f′(x)＝
−sinx(x2+xsinx+1)−(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)
(x2+xsinx+1)2
=−
sinx(x2+xsinx+1)+(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)
(x2+xsinx+1)2
当x∈[0，
π
2]时，sinx≥0，cosx≥0，∴f′（x）＜0
∴函数在[0，
π
2]上的单调减
若x1＞x2，取x1＝
π
4，x2＝−
π
3，∴0＜x1＜−x2＜
π
2，∴f（x1）＞f（-x2），∴f（x1）＞f（x2），∴①不正确；
若
x21＞
x22，x1、x2∈[−
π
2，
π
2]，∴[π/2]≥|x1|＞|x2|≥0，∴f（x1）＜f（x2）恒成立，∴②正确；
若|x1|＞x2，则取x1＝−
π
3，x2＝−
π
4，∴0＜−x1＜−x2＜
π
2，∴f（-x1）＞f（-x2），∴f（x1）＞f（x2），∴③不正确；
若x1+x2＜0，取
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题以具体函数为载体，考查函数的性质，考查结论成立的条件，是个开放式的命题，对学生的理解判断能力要求比较高．
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