解题思路：（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，由线面垂直的判定定理，只要找到一条直线垂直于两条相交直线即可，由题意易得，∴△C1BD为等腰三角形，故AC和BD交于O，则C1O⊥BD，又AC⊥BD，命题可证．
（2）由（1）知∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角，由余弦定理解△C1OC即可．
（3）可先猜测
CD
C
C
1
的值，然后证明A1C⊥平面C1BD．只要证A1C⊥平面C1BD内的两条相交直线即可，易得BD⊥平面AC1，BD⊥A1C．同理再证BC1⊥A1C即可．
（1）证明：如图：
连接AC、设AC和BD交于O，连接C1O
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，
但AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1C，
又C1C⊂平面AC1C
∴C1C⊥BD．
（2）由（1）知AC⊥BD，C1O⊥BD，
∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角．
在△C1BC中，BC=2，C1C=
3/2]，∠BCC1=60°，
∴C1B2=22+（[3/2]）2-2×2×[3/2]×cos60°=[13/4]
∵∠OCB=30°，
∴OB=[1/2]BC=1．
∴C1O2=C1B2-OB2=[13/4−1＝
9
4]，
∴C1O=[3/2]即C1O=C1C．
作C1H⊥OC，垂足为H．
∴点H是OC的中点，且OH=
3
2，
所以cos∠C1OC=[OH
C1O=
3/3]．
（3）如图：
当
CD
CC1=1时，能使A1C⊥平面C1BD
由（1）知，BD⊥平面AC1C，
∵A1C⊂平面AC1C，∴BD⊥A1
C
当
CD
CC1=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，
又BD∩BC1=B，
∴A1C⊥平面C1BD．
点评：
本题考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题．
考点点评： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力．
