想必你是刚学三角函数的初中生吧~
三角函数的名字就告诉我们它是一个函数.以cosx为例子,每给定一个x,cosx就有1个固定的值,这个值是客观存在.而cosx与x具有1个什么客观存在的关系呢?
按照初中的定义就是:在1个直角三角型内存在一个大小为x的锐角,那么这个角的邻边与斜边的比值就定义为函数cosx在自变量为x时的值(当然高中的定义不是这样,它把三角函数的角度范围就是定义域扩展到了实数范围,这个现在不了解不要紧,这并不影响你对三角函数的实质的理解)
现在转到你所要知道的问题上
我先问你一个问题y=x^2的函数解析式是什么?你可能会觉得这个问题很莫名其妙
那么高中同学看到你这个问题也是同样的反映,这说明你对三角函数还不够熟悉,你在下意识里还不认为三角函数是一个函数,只是一个特殊的计算方法而已.
现在我们来对y=cosx和y=x^2这两个函数来比较一下
这两个函数(都叫函数了嘛!)显然都满足函数的定义,他们的值都是在x客观存在是唯一客观存在的值他们的对应法则都有人为定义
y=x^2实则为函数值y关于x是2次相关,转化为客观现实就是一维空间的坐标值迁移到二维空间中(说简单点就是正方形边长和面积的关系)
那么他们在定义上都是如出一辙的了
再看你所谓的解析式:一个是x^2一个是cosx请问1个没学过数学,英语,阿拉伯数字的人看这些他会认为他们有什么本质的不同吗?
你的意思无非是要把cosx表示成你现在学过的函数类型比如x^n,a^x的运算函数.可cosx原本就是一个函数呀,只不过这个函数你先前没接触过.
比如要你把函数y=a^x(这是一个指数函数,现在可能还没学过,不过这个更好理解一点,函数值就是a的x次方,a是个常数)表示成x^n类型的函数一样,请问能做到吗(学了高等数学的幂级数展开后或许行,但在人们一开始定义函数a^x时绝对没人做得到,正是因为不能用原有的符号表示他,才创造了新的函数符号)
正是为了描述三角型中的边角关系,人们才不得不引进了三角函数的6个(还有cot,sec和csc三个你没学)新的函数符号
这跟人们一开始引进+和-这些函数符号是完全等价的(不要小看加减号哟,他们是不折不扣的函数符号).加号的解析式是什么?
现在假设1下,如果三角函数是最贴近人的生活的,数学一开始就定义三角函数,学三角函数,那当你学到加减乘除或者次方函数的时候,你势必会提出疑问,这些函数的值是怎么来得?能用三角函数把他们表示出来吗?
可以说,在最初人们定义三角函数的时候,函数值完全是由数值解法从圆中解出来的(三角函数和圆的关系十分大,最初的三角函数是讨论圆当中弦长关于圆心角的关系的)因为它们客观存在,所以肯定能得到它们的数值近似解(这些解象派和自然底数e一样,他们是无理数又无法表示成根号几的形式,于是只有得到近似值,如果说你非要个准确值的话那就是cosx,哈哈,不是我在耍你,就是这样的,根号2也无法表示成不带根号的形式,PS:别告诉我√2=2^(0.5),那还是如出一辙)这就更好地解释了三角函数不能由那些你学过的函数简单的表示出来(为什么这么说?看后文)三角函数值表就是这样诞生的!
我前面说不能简单的表示(话外音是可以表示?),那么是否真的有你梦寐以求的解析式呢?
答案是肯定的,在数学发展进入高等数学阶段,由幂级数展开就在理论上可以用x^n型函数相加减表示任意的函数了(这面的学问可多了,好好学数学吧)
例如cosx展开为幂级数就是1-[x^2/2!]+[x^4/4!]-……+(-1)^n*[x^2n/(2n)!]
并使n趋近于无穷大的结果,其中!表示阶层函数x!=1*2*3*4……*x
并由此可得更具实用性的欧拉公式(虽然对现在的你一点实用性都没有,倒是可以耍耍酷,
e^(ix)=cosx+i*sinx
这个式子里有很多问题,首先这个式子用的是弧度制,而不是360°的角度制(什么是弧度制?反正这个式子你用不了,我就不细说了,查高中教科书把)
再下面e是什么?e我前面有所提及,它是一个常数,名字叫自然底数,他的值是式子[1+(1/x)]^x在x趋向于无穷大的值,大致是2.71828,它在函数,微积分里的应用太广泛了
下面i是什么?它就是传说中的虚数了!它的应用离你太远,但定义却十分简单
式子根号下的-a^2就是ai也就是说i=负一的平方根
这看似根本不存在的i却也是发挥大作用啊!具体就不说了
好了,给你的这两个式子也够你在同学们面前耍酷了,
希望我的这些解释能让你更好地理解三角函数
