解题思路：（1）根据原式等于0，利用根的判别式△＞0即可得出答案；
（2）首先利用抛物线上两个不同点A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）的纵坐标相同，得出点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则
m−3＝
(n−3)+(−n+1)
2
＝−1
，进而求出m的值，即可得出二次函数解析式，即可得出n的值；
（3）根据当2＜x＜3时，对于
y＝
1
2
x
2
+x−
3
2
，y随着x的增大而增大，再利用x=2和3时y的值得出k的取值范围．
（1）证明：令[1/2x2−(m−3)x+
5−4m
2＝0．
得△＝[−(m−3)]2−4×
1
2×
5−4m
2]=m2-2m+4=（m-1）2+3．
∵不论m为任何实数，都有（m-1）2+3＞0，即△＞0．
∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
x＝−
−(m−3)
2×
1
2＝m−3．
（2）抛物线y＝
1
2x2−(m−3)x+
5−4m
2的对称轴为：x=m-3，
∵抛物线上两个不同点A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）的纵坐标相同，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m−3＝
(n−3)+(−n+1)
2＝−1．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y＝
1
2x2+x−
3
2．
∵A（n-3，n2+2）在抛物线y＝
1
2x2+x−
3
2上，
∴[1/2(n−3)2+(n−3)−
3
2＝n2+2．
化简，得n2+4n+4=0．
∴n=-2．
（3）当2＜x＜3时，
对于y＝
1
2x2+x−
3
2]，y随着x的增大而增大，
对于y＝
k
x(k＞0，x＞0)，y随着x的增大而减小．
所以当x0=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，
得[k/2]＞[1/2×22+2−
3
2]，
解得：k＞5．
当x0=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，
得[1/2×32+3−
3
2]＞[k/3]，
解得k＜18．
所以k的取值范围为：5＜k＜18．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．
考点点评： 此题主要考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数与不等式等知识，根据二次函数图象上点的特征得出n的值是解题关键．
